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2019年江西专升本九江学院《高等数学Ⅰ》考试大纲

发布日期:2019/05/10来源:专升本社区 阅读量:442

2019年《高等数学》考试大纲

 

第一部分:总要求

考生应按本大纲的要求,了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论;学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系;应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力;能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明,准确地计算;能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。

 

第二部分:考试内容

一、 函数、极限与连续

(一)函数

 1.知识范围

(1)函数的概念:函数的定义、函数的表示法、分段函数、隐函数。

(2)函数的简单性质:单调性、奇偶性、有界性、周期性。

(3)反函数:反函数的定义,反函数的图象。

(4)函数的四则运算与复合运算。

(5)基本初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

(6)初等函数。

2. 要求

(1)理解函数的概念,会求函数的定义域、表达式及函数值。了解分段函数的概念。

(2)理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。

(3)了解函数y=ƒ(x)与其反函数y=ƒ-1x)之间的关系(定义域、值域、图象),会求单调函数的反函数。

(4)理解和掌握函数的四则运算与复合运算。

(5)掌握基本初等函数的简单性质及其图象。

(6)了解初等函数的概念。

7)会建立简单实际问题的函数关系。

(二)极限

 1.知识范围

(1)数列极限的概念:数列,数列的极限。

(2)数列极限的性质:唯一性,有界性,四则运算定理,夹逼定理,单调有界数列的极限存在定理。

(3)函数极限的概念:函数在一点处极限的定义,左、右极限及其与极限的关系,x趋于无穷(x→∞,x→+∞,x→-∞)时函数的极限。

(4)函数极限的定理:唯一性定理,夹逼定理,四则运算定理。

(5)无穷小量和无穷大量:无穷小量与无穷大量的定义,无穷小量与无穷大量的关系,无穷小量与无穷大量的性质,两个无穷小量阶的比较。

(6)两个重要极限。

 2.要求

1)了解极限的概念,能根据极限概念分析函数的变化趋势。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

(2)熟练掌握用极限的四则运算法则求极限的方法,理解极限的有关性质。 

(3)了解无穷小量、无穷大量的概念,了解无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。了解无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等阶)。

(4)熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

(三)连续

1.知识范围

1)函数连续的概念:函数在一点连续的定义,函数的间断点。

(2)函数在一点处连续的性质:连续函数的四则运算,复合函数的连续性,反函数的连续性。

(3)闭区间上连续函数的性质:有界性定理,最大值和最小值定理,介值定理(包括零点定理)。

2.要求

(1)理解函数在一点连续与间断的概念,会判断简单函数(含分段函数)在一点的连续性,理解函数在一点连续与极限存在的关系。

(2)会求函数的间断点(含分段函数)。

(3)理解闭区间上连续函数的性质,会运用介值定理(包括零点定理)推证一些简单命题。

(4)了解连续函数的性质及初等函数在其定义区间上的连续性。会利用连续性求极限。

二、一元函数微分学

(一)导数与微分

1.知识范围

(1)导数概念:导数的定义、导数的几何意义、可导与连续的关系。

(2)求导法则与导数的基本公式:导数的四则运算、基本初等函数的导数公式。

(3)求导方法:复合函数的求导法、隐函数的求导法、对数求导法。

(4)高阶导数的概念:高阶导数的定义,高阶导数的计算。

(5)微分:微分的定义,微分与导数的关系,微分法则,一阶微分形式不变性。

2.要求

(1)理解导数的概念及其几何意义,了解可导性与连续性的关系。掌握用定义求函数在一点处导数的方法。

(2)会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

(3)熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数求导法则。会求反函数的导数。

(4)掌握隐函数求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法,会求分段函数的导数。

(5)了解高阶导数的概念,会求简单函数的n阶导数。

(6)理解函数的微分概念,了解可微与可导的关系,会求函数的一阶微分。

(二)微分中值定理及导数的应用

1.知识范围

(1)中值定理:罗尔中值定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西()中值定理。

(2)洛必达(L’Hospital)法则。

(3)函数增减性的判定法。

(4)函数极值与极值点,最大值与最小值。

5)曲线的凹凸性、拐点。

6)曲线的渐近线。

7)曲率。

8)简单的函数图形。

2.要求

(1)理解解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义,会用拉格朗日中值定理证明某些简单的不等式或恒等式。了解柯西中值定理。

(2)熟练掌握洛必达法则求“0/0”、“∞/ ∞”、“0•∞”、“∞-∞”、“1”、“00”和“∞0”型未定式的极限方法。

(3)掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调区间的方法,会利用函数的增减性证明简单的不等式。

(4)理解函数极值的概念,掌握求函数的极值和最大(小)值的方法,并且会解简单的应用问题。

5)会用导数判断曲线的凹凸性,会求曲线的拐点。

6)会求曲线的渐近线。

7)了解曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径。

8)会作出简单的函数图形。

三、一元函数积分学

(一)不定积分

1.知识范围

(1)不定积分的概念:原函数与不定积分的定义,原函数存在定理,不定积分的性质。

(2)基本初等函数的积分公式。

(3)换元积分法:第一换元法(凑微分法),第二换元法。

(4)分部积分法。

5)一些简单有理函数的积分。

2.要求

(1)理解原函数与不定积分概念及其关系,掌握不定积分性质,了解原函数存在定理。

(2)掌握基本初等函数的不定积分公式。

(3)熟练掌握不定积分第一换元法,掌握第二换元法(限于三角代换与简单的根式代换)。

(4)熟练掌握不定积分的分部积分法。

5)会求简单有理函数的不定积分。

(二)定积分

1.知识范围

(1)定积分的概念:定积分的定义及其几何意义。

(2)定积分的性质。

(3)定积分的计算:变上限的定积分,牛顿一莱布尼茨(Newton - Leibniz)公式,换元积分法,分部积分法。

4)广义积分的概念。

5)定积分在几何上的应用:平面图形的面积、旋转体的体积、已知平行截面面积的立方体体积,平面曲线的弧长。

2.要求

(1)理解定积分的概念与几何意义,了解函数可积的条件。

(2)掌握定积分的基本性质。

(3)理解变上限的定积分的含义,掌握对变上限定积分求导数的方法。

(4)熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。

(5)掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

6)理解广义积分,根据定义会求一些简单的广义积分。

7)理解用元素法将实际问题表达成定积分的分析方法。

8)掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积的计算方法,会求简单的已知平行截面面积的立方体体积,会求平面曲线的弧长。

四、多元函数微积分学

(一)多元函数微分学

1.知识范围

1)空间直角坐标系。

2)多元函数。

多元函数的定义、二元函数的几何意义、二元函数极限与连续的概念。

3)偏导数与全微分

偏导数、全微分、二阶偏导数

4)复合函数的偏导数

5)隐函数的偏导数

6)二元函数的无条件极值与条件极值

 2.要求

1)了解空间直角坐标系的概念,会求空间两点间的距离。

2)了解多元函数的概念、二元函数的几何意义、会求二元函数的表达式与定义域。了解二元函数的极限与连续的概念。

3)理解偏导数的概念,了解偏导数的几何意义,了解全微分概念,了解全微分存在的必要条件与充分条件。

4)掌握二元函数的一、二阶偏导数的计算方法。

5)掌握复合函数一、二阶偏导数的求法。

6)会求多元函数的全微分。

7)掌握由方程所确定的隐函数的一阶偏导数的计算方法。

8)会求多元函数的无条件极值,会用拉格朗日数乘法求多元函数的条件极值。

(二)二重积分

1.知识范围

1)二重积分的概念

二重积分的定义、二重积分的几何意义

2)二重积分的性质

3)二重积分的计算

4)二重积分的应用

2.要求

1)了解二重积分的概念与基本性质,理解二重积分的几何意义。

2)掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标),能够根据积分域和被积函数的特点选择坐标系和积分次序,能正确地定出二次积分的积分限。

3)会用二重积分解决简单的积分问题。

五、无穷级数

(一)数项级数

1.知识范围

1)数项级数

数项级数的概念、级数的收敛与发散、级数的基本性质、级数收敛的必要条件

2)正项级数收敛性的判别法

比较判别法、比值判别法、

3)任意项级数

交错级数、绝对收敛、条件收敛、莱布尼茨判别法

2.要求

1)理解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念。

2)掌握级数的基本性质和级数收敛的必要条件,掌握几何级数和P——级数的收敛性,掌握正项级数的比较判别法和比值判别法,了解级数的根式判别法。

3)掌握交错级数的莱布尼茨判别法。了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念,以及它们之间的关系。

(二)幂级数

1.知识范围

1)幂级数的概念

    收敛半径、收敛区间

2)幂级数的基本性质

3)将简单的初等函数展开成幂级数

2.要求

1)了解幂级数的概念。

2)掌握幂级数的收敛半径、收敛区间的求法。

3)了解幂级数的基本性质(和函数的连续性,逐项微分和逐项积分)。

4)掌握几个常用初等函数的麦克劳林展开式,并会利用这些展开式将一些简单函数间接展开成幂函数。

 

六、常微分方程

一阶微分方程

1.知识范围

1)微分方程的概念

微分方程的定义、阶、解、通解、初始条件和特解

2)可分离变量的微分方程

3)一阶线性微分方程

2.要求

1)理解微分方程的定义,理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解

2)掌握可分离变量的微分方程的解法。

3)掌握一阶线性微分方程解法。

 

第三部分:参考教材

1. 《高等数学》(上、下册)(第四、五、六、七版)同济大学数学教研室编,高等教育出版社

2. 《微积分》  马军  许成锋  主编,北京理工大学出版社